复合函数导数怎么求导

复合函数的导数是多元函数在某一点处的导数。复合函数的导数可以通过链式法则来求导。

设有一个由两个函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 构成的复合函数 $y=f(g(x))$ ，则复合函数的导数可以表示为：

$$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$$

其中 $\frac{{dy}}{{du}}$ 表示外函数 $f(u)$ 对内函数 $u=g(x)$ 的导数，$\frac{{du}}{{dx}}$ 表示内函数 $u=g(x)$ 对自变量 $x$ 的导数。

换句话说，要求复合函数的导数，我们可以先求内函数对自变量的导数，再求外函数对内函数的导数，最后将两个导数相乘。

举例来说，假设我们要求函数 $y=(x^2+1)^3$ 的导数，可以将其看作是外函数 $y=f(u)=u^3$ 的复合函数，其中 $u=g(x)=x^2+1$。

首先，我们求内函数 $u=g(x)$ 对自变量 $x$ 的导数，有 $\frac{{du}}{{dx}}=2x$。

然后，我们求外函数 $y=f(u)$ 对内函数 $u=g(x)$ 的导数，有 $\frac{{dy}}{{du}}=3u^2=3(x^2+1)^2$。

最后，将两个导数相乘：$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}=3(x^2+1)^2 \cdot 2x=6x(x^2+1)^2$。

因此，函数 $y=(x^2+1)^3$ 的导数为 $6x(x^2+1)^2$。

总结一下，求复合函数的导数时，首先计算内函数对自变量的导数，然后计算外函数对内函数的导数，并最终将两个导数相乘。这就是求导复合函数的基本步骤。